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| 內容簡介： |
本书讲解概率论的基础内容, 包括组合分析、概率论公理、条件概率、离散型随机变量、
连续型随机变量、随机变量的联合分布、期望的性质、极限定理和模拟等, 内容丰富, 通俗易懂, 并配有丰富的例子和大量习题, 涉及物理学、生物学、化学、遗传学、博弈论、经济学等多方面的应用，极具启发性。
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| 關於作者： |
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史蒂文J. 米勒（Steven J. Miller） 美国耶鲁大学数学与物理学学士，普林斯顿大学数学硕士及博士。现任威廉姆斯学院数学教授、Erdos研究所教职研究员，还是美国数学协会和Phi Beta Kappa荣誉学会成员。主要研究方向有数论、线性代数、概率论和统计学。
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| 目錄：
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第 一部分 一般性理论
第 1章 引言2
1.1 生日问题3
1.1.1 陈述问题3
1.1.2 解决问题6
1.1.3 对问题和答案的推广：效率11
1.1.4 数值检验14
1.2 从投篮到几何级数16
1.2.1 问题和解答16
1.2.2 相关问题22
1.2.3 一般问题的解决技巧25
1.3 赌博28
1.3.1 2008年超级碗赌注29
1.3.2 预期收益29
1.3.3 对冲的价值31
1.3.4 结论32
1.4 总结33
1.5 习题35
第 2章 基本概率定律41
2.1 悖论42
2.2 集合论综述44
2.2.1 编程漫谈48
2.2.2 无穷大的大小和概率50
2.2.3 开集和闭集52
2.3 结果空间、事件和概率公理54
2.4 概率公理59
2.5 基本概率规则61
2.5.1 全概率公式62
2.5.2 并的概率63
2.5.3 包含的概率66
2.6 概率空间和代数67
2.7 附录：实验性地找出规律72
2.7.1 乘积求导法则73
2.7.2 并的概率74
2.8 总结75
2.9 习题75
第3章 计数I：纸牌80
3.1 阶乘和二项式系数81
3.1.1 阶乘函数81
3.1.2 二项式系数85
3.1.3 总结90
3.2 扑克牌90
3.2.1 规则91
3.2.2 最小牌型93
3.2.3 对子95
3.2.4 两对98
3.2.5 三条99
3.2.6 顺子、同花和同花顺99
3.2.7 葫芦和铁支100
3.2.8 扑克牌型练习：I102
3.2.9 扑克牌型练习：II103
3.3 单人纸牌105
3.3.1 克朗代克纸牌105
3.3.2 Aces Up纸牌108
3.3.3 《空当接龙》110
3.4 桥牌112
3.4.1 井字游戏113
3.4.2 桥牌牌局的个数115
3.4.3 将牌的分配121
3.5 附录：计算概率的代码125
3.5.1 将牌的分配和代码125
3.5.2 扑克牌型的代码127
3.6 总结130
3.7 习题130
第4章 条件概率、独立性和贝叶斯定理134
4.1 条件概率135
4.1.1 猜测条件概率公式137
4.1.2 期望计数法138
4.1.3 文氏图法140
4.1.4 蒙提霍尔问题141
4.2 一般乘法法则142
4.2.1 陈述. 142
4.2.2 扑克牌的例子143
4.2.3 帽子问题和纠错码144
4.2.4 高等注解：条件概率的定义145
4.3 独立性146
4.4 贝叶斯定理148
4.5 划分和全概率法则154
4.6 回顾贝叶斯定理157
4.7 总结158
4.8 习题158
第5章 计数II：容斥原理162
5.1 阶乘和二项式问题163
5.1.1 有多少个与概率是什么163
5.1.2 选组165
5.1.3 循环次序166
5.1.4 选择套装168
5.2 容斥方法170
5.2.1 容斥原理的特例170
5.2.2 容斥原理的陈述173
5.2.3 容斥公式的证明175
5.2.4 利用容斥原理：同花色牌型177
5.2.5 从至少到恰好的方法180
5.3 错排182
5.3.1 错排的个数183
5.3.2 错排数的概率184
5.3.3 错排试验的代码185
5.3.4 错排的应用187
5.4 总结188
5.5 习题190
第6章 计数III：高等组合学193
6.1 基本计数194
6.1.1 枚举法I194
6.1.2 枚举法II195
6.1.3 有放回抽样和无放回抽样199
6.2 单词排序207
6.2.1 排序方法数208
6.2.2 多项式系数210
6.3 划分213
6.3.1 饼干问题213
6.3.2 彩票216
6.3.3 其他划分220
6.4 总结223
6.5 习题223
第二部分 介绍随机变量
第7章 离散型随机变量228
7.1 离散型随机变量：定义228
7.2 离散型随机变量：概率密度函数230
7.3 离散型随机变量：累积分布函数233
7.4 总结241
7.5 习题243
第8章 连续型随机变量246
8.1 微积分基本定理247
8.2 概率密度函数和累积分布函数：定义259
8.3 概率密度函数和累积分布函数：例子251
8.4 单元素事件的概率256
8.5 总结258
8.6 习题259
第9章 工具：期望262
9.1 微积分预备知识263
9.2 期望值和矩265
9.3 均值和方差268
9.4 联合分布273
9.5 期望的线性性质277
9.6 均值和方差的性质282
9.7 偏斜度与峰度287
9.8 协方差287
9.9 总结288
9.10 习题. 289
第 10章 工具：卷积和变量替换292
10.1 卷积：定义和性质293
10.2 卷积：掷骰子的例子296
10.2.1 理论计算296
10.2.2 卷积码297
10.3 多变量的卷积298
10.4 变量替换公式：叙述301
10.5 变量替换公式：证明305
10.6 附录：随机变量的乘积与商309
10.6.1 乘积的概率密度函数310
10.6.2 商的概率密度函数311
10.6.3 例子：指数分布的商311
10.7 总结313
10.8 习题313
第 11章 工具：微分恒等式317
11.1 几何级数的例子318
11.2 微分恒等式法321
11.3 在二项分布随机变量上的应用322
11.4 在正态分布随机变量上的应用326
11.5 在指数分布随机变量上的应用328
11.6 总结330
11.7 习题331
第三部分 特殊分布
第 12章 离散分布334
12.1 伯努利分布334
12.2 二项分布335
12.3 多项分布339
12.4 几何分布341
12.5 负二项分布343
12.6 泊松分布347
12.7 离散均匀分布350
12.8 习题353
第 13章 连续型随机变量：均匀分布与指数分布357
13.1 均匀分布357
13.1.1 均值和方差358
13.1.2 服从均匀分布的随机变量之和359
13.1.3 例子362
13.1.4 均匀地生成随机数364
13.2 指数分布365
13.2.1 均值和方差366
13.2.2 服从指数分布的随机变量之和369
13.2.3 服从指数分布的随机变量的例子与应用372
13.2.4 从指数分布中生成随机数373
13.3 习题376
第 14章 连续型随机变量：正态分布379
14.1 确定标准化常数380
14.2 均值和方差383
14.3 服从正态分布的随机变量之和386
14.3.1 情形1：X = Y = 0且X^2 = Y^ 2 = 1388
14.3.2 情形2：一般化的X、Y 和X^2、Y^2 390
14.3.3 两个服从正态分布的随机变量之和：更快的代数运算393
14.4 从正态分布中生成随机数394
14.5 例子与中心极限定理400
14.6 习题401
第 15章 伽马函数与相关分布405
15.1 s 的存在性405
15.2 s 的函数方程407
15.3 阶乘函数与s 411
15.4 s 的特殊值412
15.5 贝塔函数与伽马函数414
15.5.1 基本关系式的证明415
15.5.2 基本关系式和1=2 417
15.6 正态分布与伽马函数418
15.7 随机变量族419
15.8 附录：余割等式的证明421
15.8.1 余割等式：第 一种证明421
15.8.2 余割等式：第二种证明425
15.8.3 余割等式：s = 1=2的特殊情形427
15.9 柯西分布429
15.10 习题431
第 16章 卡方分布433
16.1 卡方分布的起源434
16.2 X ~x^21 的均值与方差436
16.3 卡方分布与服从正态分布的随机变量之和437
16.3.1 直接积分求平方和439
16.3.2 利用变量替换定理求平方和440
16.3.3 卷积法求平方和444
16.3.4 服从卡方分布的随机变量之和446
16.4 总结447
16.5 习题449
第四部分 极限定理
第 17章 不等式和大数定律452
17.1 不等式452
17.2 马尔可夫不等式454
17.3 切比雪夫不等式456
17.3.1 陈述456
17.3.2 证明458
17.3.3 正态分布与均匀分布的例子460
17.3.4 指数分布的例子462
17.4 布尔不等式与邦弗伦尼不等式462
17.5 收敛类型464
17.5.1 依分布收敛464
17.5.2 依概率收敛466
17.5.3 几乎必然收敛与必然收敛467
17.6 弱大数定律与强大数定律467
17.7 习题469
第 18章 斯特林公式472
18.1 斯特林公式与概率474
18.2 斯特林公式与级数的收敛性476
18.3 从斯特林公式到中心极限定理477
18.4 积分判别法与较弱的斯特林公式481
18.5 得到斯特林公式的基本方法484
18.5.1 二进分解484
18.5.2 斯特林公式的下界：I486
18.5.3 斯特林公式的下界：II488
18.5.4 斯特林公式的下界：III490
18.6 静态相位与斯特林公式491
18.7 中心极限定理与斯特林公式492
18.8 习题494
第 19章 生成函数与卷积496
19.1 动机496
19.2 定义498
19.3 生成函数的唯一性和收敛性503
19.4 卷积I：离散型随机变量504
19.5 卷积II：连续型随机变量508
19.6 矩母函数的定义与性质514
19.7 矩母函数的应用521
19.8 习题525
第 20章 中心极限定理的证明527
20.1 证明的关键思路537
20.2 中心极限定理的陈述529
20.3 均值、方差与标准差531
20.4 标准化532
20.5 矩母函数的相关结果536
20.6 特殊情形：服从泊松分布的随机变量之和538
20.7 利用MGF证明一般的CLT541
20.8 使用中心极限定理543
20.9 中心极限定理与蒙特卡罗积分544
20.10 总结546
20.11 习题547
第 21章 傅里叶分析与中心极限定理552
21.1 积分变换553
21.2 卷积与概率论557
21.3 中心极限定理的证明560
21.4 总结563
21.5 习题564
第五部分 其他主题
第 22章 假设检验568
22.1 Z检验569
22.1.1 原假设与备择假设569
22.1.2 显著性水平570
22.1.3 检验统计量572
22.1.4 单侧检验与双侧检验575
22.2 p值578
22.2.1 非凡的主张与p值578
22.2.2 大的p值579
22.2.3 关于p值的误解579
22.3 t检验581
22.3.1 估算样本方差581
22.3.2 从z检验到t检验582
22.4 假设检验的问题585
22.4.1 I型错误585
22.4.2 II型错误585
22.4.3 错误率与司法系统586
22.4.4 功效587
22.4.5 效应量588
22.5 卡方分布、拟合优度588
22.5.1 卡方分布与方差检验589
22.5.2 卡方分布与t分布592
22.5.3 列表数据的拟合优度593
22.6 双样本检验595
22.6.1 双样本z检验：方差已知595
22.6.2 双样本t检验：方差未知但相等598
22.6.3 方差未知且不相等599
22.7 总结601
22.8 习题 602
第 23章 差分方程、马尔可夫过程和概率论 604
23.1 从斐波那契数到轮盘赌604
23.1.1 翻倍加一策略604
23.1.2 对斐波那契数的快速回顾606
23.1.3 递推关系与概率608
23.1.4 讨论与推广609
23.1.5 轮盘赌问题的代码610
23.2 递推关系的一般理论612
23.2.1 表示法612
23.2.2 特征方程612
23.2.3 初始条件614
23.2.4 关于不同根意味着可逆性的证明616
23.3 马尔可夫过程617
23.3.1 递推关系与种群动力学617
23.3.2 一般的马尔可夫过程619
23.4 总结620
23.5 习题620
第 24章 最小二乘法622
24.1 问题的描述622
24.2 概率论与统计学回顾623
24.3 最小二乘法625
24.4 习题629
第 25章 两个著名问题与一些代码632
25.1 婚姻秘书问题632
25.1.1 假设与策略632
25.1.2 成功的概率633
25.1.3 秘书问题的代码637
25.2 蒙提霍尔问题639
25.2.1 一个简单的解决方案639
25.2.2 一种极端情形640
25.2.3 蒙提霍尔问题的代码641
25.3 两个随机程序642
25.3.1 有放回取样与无放回取样642
25.3.2 期望643
25.4 习题644
附录A 证明技巧（图灵社区下载）
附录B 分析学结果（图灵社区下载）
附录C 可数集与不可数集（图灵社区下载）
附录D 复分析与中心极限定理（图灵社区下载）
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