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| 編輯推薦： |
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本书收集了大量国内大学自主招生的不等式的典型问题，讲解了高中不等式的证明通法和各种技巧，还有大量作者自创的题目，内容新颖，富有启发性。快来一起探索不等式的奥妙吧。
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| 內容簡介： |
本书是清华大学附属中学针对大学自主招生开设的校本课程不等式选讲的教材，该校本课程面向高一优秀学生，在高一下学期开设，共18学时，系统讲授不等式问题的思想与方法，拓宽解决数学问题特别是不等式问题的思路.全书共14讲，分为基础知识篇、思想进阶篇和试题赏析篇，每讲精选例题，并配有习题，附有习题提示与解答.
本书适合高中师生及数学爱好者研读.
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| 目錄：
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基础知识篇
第1讲不等式基础知识整合3
第2讲均值不等式应用技巧8
第3讲柯西不等式及其应用12
第4讲排序不等式及其应用15
第5讲零件不等式证明一类带界的分式不等式20
思想进阶篇
第6讲证明不等式的方法与技巧27
第7讲数与形和谐结合解不等式33
第8讲巧用构造法解不等式问题38
第9讲齐次化与非齐次化的思想42
试题赏析篇
第10讲对点讲练：
高考线性规划趣赏49
第11讲典例精析：
自主招生不等式选讲53
第12讲难点突破： 不等式综合题选讲59
第13讲思维拓展： 不等式妙解与改编65
第14讲灵感延伸： 不等式题原创命制73
习题提示与解答77
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| 內容試閱：
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与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在的基本数学关系，是数学研究的重要内容.建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.《普通高中数学课程标准实验》特别强调不等式的现实背景和实际应用，把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具，作为描述刻画问题的一种数学模型.不等式与数、式、方程、函数、几何等内容有密切的联系.如讨论方程或方程组的解的情况；用判别式的符号判断一元二次方程的根的存在情况；研究函数的定义域时常用到以下不等关系： 分式的分母不为零；偶次根式的被开方数非负；对数的真数大于0；函数的单调性；利用自变量的不等关系来研究函数值的变化趋势；刻画函数的值域、最大值、最小值等概念.在本校本课程的学习中，第1～5讲针对不等式的基础知识，将系统学习均值不等式、柯西不等式、排序不等式、零件不等式这些基本而重要的不等式，扩展了学习者对较复杂代数式的不等关系的认识，提高了求函数的值域与最值的能力，又为进一步学习不等式的证明奠定了基础.第6～9讲强化了证明不等式的方法与技巧、运用数形结合思想解决问题的能力、构造法来解决不等式问题、巧用齐次化和非齐次化思想，使学习者学会变通灵活地解决问题，可谓数学思维之美与形象思维之妙的完美结合！第10～12讲针对线性规划问题、典型的自主招生题和竞赛题作深入剖析和探究.线性规划问题开拓了不等式的实际运用领域，揭示出不等式的几何意义；典型的自主招生题和竞赛题，使学生对不等式的认识有了质的飞跃，无疑会使学习者产生强烈的学习兴趣和探究的动力.第13、14讲是笔者在教学中的积累与探索，对一些有趣的不等式问题给出了妙解与改编，并从命题人的角度分享了试题的原创命制心路历程，极有利于学生思维层面上的提升，进一步促使学习者在思维的更深层面上，主动完成对函数、方程、不等式有机数学知识网络的构建.总之，不等式在高中数学中占有重要的地位，是进一步学习数学的基础知识.在高等数学中，不等关系是刻画诸多数学概念的有力数学工具.同样，对现实世界的数学刻画中存在着大量的不等关系，相等是特殊的，不等是普遍的.
编者
第3讲柯西不等式及其应用
∵a,b,cR ，a b c=1，∴1 14 19a 12 4b2 9c2a 1 122b 133c2=4，得a 12 4b2 9c214449.当且仅当a 1=4b=9c，即a=2349,b=1849,c=749时，a 12 4b2 9c2有最小值14449.2 证明： 有些不等式证明的解决往往需要反复利用柯西不等式才能达到目的.∵a b c12 12 12a b c2，∴a b c3，当且仅当a=b=c=1取等号.又1a b 1b c 1c aa b b c c a9，于是1a b 1b c 1c a92a b c332.例2已知x 2y 3z=1，求x2 y2 z2的最小值.解： x2 y2 z2（12 22 32）x 2y 3z2，x2 y2 z2（12 22 32）12，x2 y2 z2114，等号成立的条件是x1=y2=z3.与x 2y 3z=1联立，可得x=114，y=17，z=314.故x2 y2 z2的最小值是114.例3在实数集内解方程x2 y2 z2=94－8x 6y－24z=39.解： 由柯西不等式，得x2 y2 z2－82 62 －242－8x 6y－24z2①∵x2 y2 z2－82 62 －242=9464 36 4144=392，又－8x 6y－24z2=392，x2 y2 z2－82 62 －242=－8x 6y－24z2,即不等式①中只有等号成立.从而由柯西不等式中等号成立的条件，得x－8=y6=z－24.它与－8x 6y－24z=39联立，可得x=－613，y=926，z=－1813.例4求fx=21－x 2x 1的最大值.解： fx=21－x 2x 1=22－2x 12x 122 122－2x2 2x 12=32－2x 2x 1=3.等号成立的条件是22－2x＝2x 11，即x=12.故fx=21－x 2x 1的最大值是3.例5求fx=32sin2x 1 83cos2x 2的最小值.解： fx=32sin2x 1 83cos2x 2=32sin2x 12 83cos2x 23=61332sin2x 12 83cos2x 23sin2x 12 cos2x 23=或fx=32sin2x 1 83cos2x 2=96sin2x 3 166cos2x 4=11396sin2x 3 166cos2x 46sin2x 3 6cos2x 411332 42=2513.等号成立的条件是tanx=32，即fx=32sin2x 1 83cos2x 2的最小值是2513.习题31. 设x y z=1，求函数u=2x2 3y2 z2的最小值.2. 设实数x,y满足3x2 2y26，求p=2x y的最大值.3. 若u=2p－q 3q－2p 6－2q，其中p,q是使u有意义的实数，试确定u的最大值.4. 已知a,b,cR ，且满足acos2 bsin2
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