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本书强调状态空间控制理论与工程实践问题紧密结合，注重对读者分析问题和解决实际问题能力的培养，具有如下特色：（1） 结构清晰，便于读者从整体上掌握现代控制理论的基本方法。本书贯穿了动态系统在状态空间数学模型基础上的定量分析定性分析极点配置*反馈控制这一结构主线；（2） 注重物理概念，避免繁琐数学推导，论证与实例配合紧密，易于理解，突出现代控制理论的工程应用背景，便于读者运用理论知识解决实际问题；（3） 在阐述现代控制理论的基本方法时注意与经典控制理论基本方法的联系与比较；（4） 在保证理论知识体系结构完整的前提下，介绍MATLAB在线性系统理论和*控制中的应用；（5） 每章均附有较丰富的例题、习题、上机实验题，便于读者自学，并有利于读者的计算机应用能力和研究能力的提高。
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| 內容簡介： |
本书是一本适应21世纪教学需要的阐述现代控制理论基础知识的教材。本书包含了现代控制理论基础的主要理论和方法，全书共分7章，着重讲述了状态空间描述的建立、系统定量分析（状态方程的解）、系统的定性分析（能控性，能观性，李雅普诺夫稳定性）、系统的综合（状态反馈与状态观测器设计）以及最优控制的3种基本方法（变分法、最小值原理、动态规划法），并在保证理论知识体系结构完整的前提下，融入MATLAB在现代控制理论中的应用。全书结构清晰，便于读者从整体上掌握现代控制理论的基本内容。
本书由浅入深，论证与实例配合紧密，富有启发性。全书各章节之间内容紧密衔接，与经典控制理论中有关内容的联系密切，可读性好，便于课堂教学与自学。主要算法给出了对应的应用MATLAB求解的方法，使读者通过本书的学习，既能打下扎实的理论基础，又能掌握应用MATLAB对控制系统进行分析与设计的技能。每章末有一定数量的习题与MATLAB实验题，主要用以检验对基本概念的理解和训练对分析以及对设计方法的使用。
本书既可作为高等院校自动化、电气工程及其自动化等专业本科和非自动化专业研究生教材，也可供从事自动化方面工作的科技人员学习参考。
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| 目錄：
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目录
第1章绪论
1.1控制理论的发展
1.2现代控制理论中的两个重要概念
1.2.1系统的能控性
1.2.2系统的能观性
1.3现代控制理论的主要内容
1.4本书研究的主要内容
第2章状态空间描述
2.1状态空间分析法
2.1.1动力学系统
2.1.2例子
2.1.3状态变量和状态向量
2.1.4状态空间与状态空间描述
2.1.5状态空间描述的一般形式
2.2状态结构图
2.2.1状态结构图绘制的基本方法
2.2.2一阶系统的状态结构图
2.2.3三阶单输入单输出系统的状态结构图
2.2.4二输入二输出二阶系统的状态结构图
2.3状态空间描述的建立
2.3.1由系统结构图建立状态空间描述
2.3.2由系统机理建立状态空间描述
2.4状态空间描述的标准形式
2.4.1传递函数中无零点时的实现
2.4.2传递函数有零点时的实现
2.5由状态空间描述求传递函数阵
2.5.1传递函数（阵）
2.5.2组合系统的传递函数阵
2.6状态向量的线性变换
2.6.1状态空间表达式的非唯一性
2.6.2系统特征值的不变性和系统的不变性
2.6.3状态空间表达式变换为约当标准型
2.7离散系统的状态空间描述
2.7.1状态空间表达式
2.7.2脉冲传递（函数）矩阵
2.8状态空间的MATLAB描述
2.8.1数学模型的建立
2.8.2模型间的转换
2.8.3组合系统的传递函数阵
2.8.4线性变换
本章小结
习题
MATLAB实验
第3章线性系统的运动分析
3.1线性定常系统状态方程的齐次解（自由解）
3.1.1幂级数法
3.1.2拉氏变换法
3.2状态转移矩阵
3.2.1状态转移矩阵的含义
3.2.2状态转移矩阵的基本性质
3.2.3几个特殊的矩阵指数函数
3.2.4状态转移矩阵的计算
3.2.5由状态转移矩阵求系统矩阵
3.3线性定常系统非齐次状态方程的解
3.3.1积分法
3.3.2拉氏变换法
3.3.3特定输入下的状态响应
3.4线性时变系统的运动分析
3.4.1线性时变系统齐次状态方程的解
3.4.2状态转移矩阵t,t0的基本性质
3.4.3状态转移矩阵t,t0的计算
3.4.4线性时变系统非齐次状态方程的解
3.4.5线性时变系统的输出
3.5线性系统的脉冲响应矩阵
3.5.1线性时变系统的脉冲响应矩阵
3.5.2线性定常系统的脉冲响应矩阵
3.5.3传递矩阵与脉冲响应矩阵的关系
3.5.4利用脉冲响应矩阵计算控制系统的输出
3.6连续系统的离散化
3.6.1问题的提出
3.6.2基本假设
3.6.3线性定常系统的离散化
3.6.4近似离散化
3.6.5线性时变系统的离散化
3.7线性离散系统的运动分析
3.7.1线性定常离散系统方程的解
3.7.2线性时变离散系统状态方程的解
3.8基于MATLAB的运动分析
3.8.1基于MATLAB的线性定常系统的运动分析
3.8.2基于MATLAB的线性离散系统的运动分析
本章小结
习题
MATLAB实验
第4章系统的能控性与能观性
4.1线性定常系统能控性定义及判据
4.1.1能控性基本概念
4.1.2能控性定义
4.1.3能控性判据
4.1.4输出能控性及判据
4.2线性定常系统能观性定义及判据
4.2.1能观测性基本概念
4.2.2能观性定义
4.2.3能观性判据
4.3线性时变系统的能控性与能观性
4.3.1线性时变系统的能控性判据
4.3.2线性时变系统的能观性判据
4.4离散定常系统的能控性与能观性
4.4.1离散定常系统能控性定义及判据
4.4.2离散定常系统能观测性定义及判据
4.4.3连续系统的能控性、能观性与离散系统的能控性、能观性之间的关系
4.5对偶原理
4.5.1线性系统的对偶关系
4.5.2对偶原理
4.6能控标准型与能观标准型
4.6.1单输入系统的能控标准型
4.6.2单输出系统的能观测标准型
4.7系统的结构分解
4.7.1基本概念
4.7.2按能控性分解
4.7.3按能观测性分解
4.7.4标准分解
4.8传递函数阵的实现
4.8.1实现的基本概念
4.8.2多输入多输出系统的能控性与能观性实现
4.8.3最小实现
4.9传递函数与能控性和能观性之间的关系
4.9.1单输入单输出系统能控性、能观性与传递函数之间的关系
4.9.2多输入多输出系统的能控性、能观性与传递函数阵之间的关系
4.10利用MATLAB分析能控性与能观性
4.10.1常用函数
4.10.2控制实例
本章小结
习题
MATLAB实验
第5章控制系统的稳定性
5.1外部稳定性与内部稳定性
5.1.1外部稳定性
5.1.2内部稳定性
5.2Lyaponov定义下的稳定性
5.2.1系统的平衡状态
5.2.2状态矢量范数
5.2.3李雅普诺夫意义下的稳定性定义
5.2.4外部稳定性与内部稳定性之间的关系
5.3李雅普诺夫判稳第一法
5.3.1线性定常系统的稳定性分析
5.3.2线性时变系统的稳定性分析
5.3.3非线性系统的稳定性分析
5.4李雅普诺夫判稳第二法
5.4.1李雅普诺夫第二法的基本思想
5.4.2标量函数V（x）的符号性质（Sign）
5.4.3二次型标量函数的符号性质
5.4.4李雅普诺夫第二法的稳定性判据
5.5李雅普诺夫法在线性系统中的应用
5.5.1李雅普诺夫矩阵方程
5.5.2李雅普诺夫矩阵方程在线性定常系统稳定性判别中的应用
5.5.3基于李雅普诺夫第二法的线性时变系统的稳定性分析
5.5.4线性定常离散系统的稳定性
5.5.5用李雅普诺夫函数估算系统响应的快速性
5.6李雅普诺夫第二法在非线性系统中的应用
5.6.1克拉索夫斯基法
5.6.2阿塞尔曼法
5.7基于Lyapunov第二法的参数最优问题
5.7.1线性二次型最优控制问题
5.7.2参数最优问题的Lyapunov第二法的解法
5.8基于李雅普诺夫第二法的模型参考控制系统
5.8.1模型参考控制系统
5.8.2控制器的设计
5.9基于MATLAB的稳定性分析
5.9.1稳定性分析的常用函数
5.9.2基于MATLAB的稳定性分析实例
本章小结
习题
MATLAB实验
第6章系统的综合
6.1基本概念
6.1.1引言
6.1.2性能指标的类型
6.1.3线性反馈系统的基本结构
6.2极点配置与状态反馈
6.2.1期望极点对系统动态性能的影响
6.2.2状态反馈与极点配置
6.2.3单变量系统极点配置定理
6.2.4状态反馈下闭环系统的镇定问题
6.3输出反馈
6.3.1输出反馈至矩阵B后端
6.3.2输出反馈至矩阵B前端
6.3.3状态反馈与输出反馈的比较
6.4状态重构与状态观测器
6.4.1开环状态观测器
6.4.2闭环全维状态观测器
6.4.3配置状态观测器反馈增益矩阵G的方法
6.4.4降维状态观测器
6.5带状态观测器的状态反馈系统
6.5.1系统的结构与数学模型
6.5.2闭环系统的基本特性
6.5.3具有降阶观测器的观测状态反馈控制系统
6.6解耦控制系统
6.6.1系统解耦基本原理
6.6.2用前馈补偿器实现解耦
6.6.3用串联补偿器实现解耦控制
6.6.4用输入变换和状态反馈实现解耦控制
6.6.5解耦系统的综合控制
6.7稳态精度与渐近跟踪
6.7.1稳态精度与跟踪问题
6.7.2内模原理
6.7.3无静差跟踪控制系统的设计
6.7.4倒立摆的无静差Ⅰ型位置跟踪系统设计
6.8基于MATLAB的系统综合
6.8.1常用函数指令
6.8.2应用举例
本章小结
习题
MATLAB实验
第7章最优控制
7.1基本概念
7.2变分法在最优控制中的应用
7.2.1泛函与变分法的基本概念
7.2.2泛函极值
7.2.3横截条件
7.2.4条件极值
7.3极小值原理
7.3.1连续系统的极小值原理
7.3.2离散系统的极小值原理
7.4动态规划
7.4.1最优性原理
7.4.2离散系统的动态规划
7.4.3连续系统的动态规划
7.4.4变分法、极小值原理与动态规划
7.5线性二次型最优控制
7.5.1线性二次型问题
7.5.2状态调节器
7.5.3输出调节器
7.5.4输出跟踪问题
7.6实用最优控制系统
7.6.1电机拖动控制
7.6.2人造地球卫星姿态控制
7.6.3二级倒立摆控制
7.7运用MATLAB求解最优控制问题举例
本章小结
习题
MATLAB实验
附录A常用符号表
附录B向量空间与矩阵理论的基本知识
附录CMATLAB软件中常用控制指令说明
参考文献
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| 內容試閱：
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第一版前言现代控制理论是在自动控制、电气工程、信息工程以及计算机技术学科发展基础上建立起来的一门理论与实践相结合的课程。随着科技的发展，现代控制理论的概念、方法和体系已经渗透到许多学科领域。学科的交叉发展要求高级工程技术人员必须更多地了解和掌握其他相近学科、专业的知识。因此，对于自动化以及相关专业的本科生和一些非控制类专业的硕士生学习现代控制理论的基础知识以及掌握利用MATLAB分析、设计控制系统的方法是时代的要求。为适应我国高等教育人才培养的要求，改革本课程体系和更新教学内容，已成为一项十分迫切的重要任务。针对现代控制理论基础具有理论性强、内容抽象的特点，本书着重于基本概念和理论的阐述，精选内容，注重应用，并尽量做到深入浅出，理论联系实际，结构清晰，从整体上介绍现代控制理论的基本内容，以适应控制理论教学改革需要和21世纪对人才培养的要求。本书在编写中强调状态空间控制理论与工程实践问题紧密结合，注重对读者分析问题和解决实际问题能力的培养，具有如下特色： ①结构清晰，便于读者从整体上掌握现代控制理论的基本方法。本书贯穿了动态系统在状态空间数学模型基础上的定量分析定性分析极点配置最优反馈控制这一结构主线； ②注重物理概念，避免繁琐的数学推导，论证与实例配合紧密，易于理解，突出现代控制理论的工程应用背景，便于读者运用理论知识解决实际问题； ③在阐述现代控制理论的基本方法时注意与经典控制理论基本方法的联系与比较； ④在保证理论知识体系结构完整的前提下，融入MATLAB在线性系统理论和最优控制中的应用； ⑤每章均附有较丰富的例题、习题、上机实验题，便于读者自学，有利于提高读者计算机应用能力和研究能力。全书共分7章，阐述现代控制理论的最基本内容，包括控制理论的发展、状态空间的基本概念、状态空间描述的建立和标准型、系统的运动分析、能控性与能观性的概念与判据、系统的结构分解与实现、应用李雅普诺夫法分析系统的稳定性、极点配置、状态反馈和状态观测器以及最优控制理论等。在每章后面分别介绍了MATLAB在现代控制理论中的一些应用，如何利用计算机辅助设计方法解决自动控制领域的一些系统分析和设计问题。全书由余成波统稿。参加编写的人员有张莲第1~3章，胡晓倩第4~6章，王士彬第7章。胡柏栋、李泉、秦华锋、谢东坡、龚智、许超明等同志也参加了本书部分章节的编写工作。本书在编写过程中，参阅了很多专著及文献，同时许多兄弟院校的同行们为本书的编写提出了许多宝贵意见并提供了许多帮助，在此，一并表示衷心感谢。本书可作高等院校自动化、电气工程及其自动化等专业本科和非自动化专业研究生教材，也可供从事自动化方面工作的科技人员学习参考。由于编者的水平有限，书中难免有错误和不当之处，敬请广大的国内同行与读者给予批评与指正。
编者2007年6月
第二版前言随着科技的发展，现代控制理论的概念、原理和方法已经广泛地运用于社会生活的方方面面。如何使状态空间控制理论与工程实际问题紧密结合，提高学生分析、解决工程实际问题的能力，为其今后从事先进控制理论和技术的研究提供支持，本书已在第一版的编写过程中做了许多的努力和尝试，形成了注重物理概念、避免繁琐数学推导和与经典控制理论形成参照对比的阐述方法，以及附有丰富例题、习题与MATLAB应用实例的特色。为适应新时期高等教育人才培养工作的需要，以及科学技术发展的新趋势和新特点，按自动化专业培养目标和培养要求，并结合最新教学大纲，本书在第一版的基础上进行了修订，以适合广大高校相关专业需求，反映当前控制技术发展的主流和趋势。本次再版在保持第一版框架体系、主要内容及基本特色的基础上，主要进行了如下修改和补充：1 修订了第一版中一些数学公式、图表和单位中存在的疏漏，修改了部分内容的阐述方式，力求更加符合理工科学生的认识规律；2 在第2章至第7章习题中补充了MATLAB实验题，有利于读者计算机应用能力和实践能力的提高；3 结合在工程控制系统设计实例，对书中部分例题进行了修改，以展示更符合实际情况的控制任务分析、状态控制模型建立、控制器分析与设计的整个过程。本书可作高等工科院校自动化本科和非自动化专业研究生教材，也可供从事自动化方面工作的科技人员学习参考。本书由7章组成，主要由张莲、胡晓倩、彭滔、余成波编写。张攀、陈大孝等同志参加了本书部分内容的编写工作。本书是在第一版的基础上改写的，并利用了第一版书的部分材料。全书的错误和缺点由主编和全体编著者共同负责。由于编者的水平有限，书中难免有错误和不当之处，敬请广大的国内同行与读者给予批评与指正。
编者2016年2月
第5章 控制系统的稳定性对于一个给定的控制系统，稳定性（Stability）是系统的重要特性。稳定性是系统正常工作的前提，是系统的一个动态属性。在控制理论和控制工程中，无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理论，都不可避免地要遇到系统稳定性问题，而且稳定性分析的复杂程度也在急剧增长。对于线性定常系统，有许多稳定性判据，如劳斯-赫尔维茨（Routh-Hurwitz）稳定性判据和奈奎斯特（Nyquist）稳定性判据等。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。1892年，俄国数学家李雅普诺夫（Lyaponov）发表了《运动稳定性的一般问题》的博士论文，提出了分析稳定性的两种有效方法。第一种方法，通过对线性化系统特征方程的根的分析来判断稳定性，称为间接法。此时，非线性系统必须先线性近似，而且只适用于平衡状态附近。第二种方法，从能量的观点对系统的稳定性进行研究，称为直接法，对线性、非线性系统都适用。直到目前，虽然有许多判据可应用于线性时不变系统或其他各自相应类型的问题中，以判断系统稳定情况，但能同时有效地适用于线性、非线性、定常、时变等各类系统的方法，则仅有李雅普诺夫方法。此外，它还可应用于线性二次型最优控制问题。李雅普诺夫稳定性理论是稳定性分析、应用与研究的最重要基础。本章5.1节首先简要分析系统的外部稳定性与内部稳定性； 5.2节介绍Lyapunov意义下的稳定性定义； 5.3节给出Lyapunov判稳第一法，并将其应用于非线性系统的稳定性分析； 5.4节讨论基于能量函数的Lyapunov判稳第二法； 5.5节针对线性定常系统、线性时变系统、线性离散系统的稳定性分析，介绍了线性系统Lyapunov能量函数的求解方法； 5.6节针对非线性系统，提供了构造李雅普诺夫能量函数的非试凑的方法； 5.7节讨论了基于Lyapunov第二法的参数最优问题； 5.8节给出模型参考控制系统，首先用公式表示Lyapunov稳定性条件，然后在这些条件的限制下设计系统。最后5.9节给出几类稳定性问题的MATLAB解法。
5.1外部稳定性与内部稳定性
传递函数描述的是系统的外部特性，因此经典控制论中的稳定性指的是外部（输出）稳定性。而状态空间描述法不仅研究系统的外部特性，而且全面揭示了系统的内部特性，因此系统平衡状态稳定与否研究的是系统的内部（状态）稳定性，系统因为扰动而偏离原静止平衡态所产生的自由响应更能够深刻地揭示系统的稳定性。5.1.1外部稳定性在经典控制理论中，外部稳定性是系统在零初始条件下通过其外部状态，即系统的输入输出关系所定义的。外部稳定性考虑的系统的零状态响应，适用于线性系统。其定义为： 初始条件为零的系统，任何一个有界输入作用下系统的输出也是有界的，则系统是外部稳定的，又称有界输入有界输出稳定性或者BIBO稳定（Bounded input Bounded output）。有界的定义如下。1. 单输入单输出系统输入ut和输出yt的有界性是通过它们各自模的有界性表示。
|ut|1,0＜1＜,tt0（5.1）
|yt|2,0＜2＜,tt0（5.2）
2. 多输入多输出系统输入向量ut 和输出向量yt的有界性，是通过每个分量的模的有界性表示，若
ut=u1t,u2t,,urtT
yt=y1t,y2t,,ymtT
则有界的含义为
uiti,i=1,2,,r,0＜i＜,tt0（5.3）
yjtj,j=1,2,,m,0＜j＜,tt0（5.4）
对于线性连续系统，外部稳定性可根据系统脉冲响应矩阵Ht,或传递函数矩阵Ws进行判断。5.1.2内部稳定性在状态空间中，以线性系统为例，系统的响应为
xt=t,t0xt0 tt0t,Bud（5.5）
包括零状态响应和零输入响应。零状态响应稳定性和经典理论中稳定性问题一样，属于外部稳定的问题。而零输入响应的稳定性问题，研究齐次方程由任意非零初态引起的响应的稳定性问题，是一种内部稳定性问题。针对在零输入条件下的系统，此时系统称为自治系统，其自治状态方程为
x=Atx,xt0=x0,tt0（5.6）
内部稳定性完全由内部状态变化所定义，考虑的是系统的零输入响应，适用于线性、非线性、定常、时变等系统。其定义为： 系统由任意非零初态xt0引起的响应xut有界，并满足渐近属性
limtxut=0（5.7）
对于一般情况，内部稳定性指自治系统状态运动的稳定性，实质上，内部稳定性等同于下一节将介绍的李雅普诺夫渐近稳定性。例5.1已知单输入单输出线性定常系统，初始状态为x0，初始时刻为0，试分析系统的外部稳定性与内部稳定性。
x=Ax bu
y=cx
解 系统的输出响应为
yt=ctx0 ct0t-bud=y1 y2
式中y1=ctx0，为初始状态x0引起的零输入响应；y2=ct0t-bud，为输入u作用下的零状态响应。1） 根据外部稳定性的定义，假定x0 =0，若系统对任何有界输入
ut1,0＜1＜,t0
输出为
yt=y2t=t0ct-bud2,0＜2＜,t0
则该系统具有外部稳定性，即零状态响应为等幅振荡或衰减响应。对于线性定常系统，具有外部稳定性的充要条件是传递函数
Ws=csI-A-1b
所有极点都位于s平面的左半面（包含临界稳定）。可见外部稳定性未考虑传递函数的零极点对消现象，只考虑了系统能控且能观的状态。2） 根据内部稳定性的定义，有u=0，系统由任意非零初态x0引起的响应xut为
xut=y1=ctx0=ceAtx0,t0
由式（5.7），系统是内部稳定，即渐近稳定的充分必要条件是状态转移矩阵满足下式
limteAt=0
对于线性定常系统，满足上式的条件是系统矩阵A的所有特征值全部具有负实部。可见，对于同一系统，只有在一定条件下，外部稳定性与内部稳定性两种定义才具有等价性。
5.2Lyaponov定义下的稳定性
Lyaponov定义下的稳定性，针对系统的平衡状态，适用于单变量（SingleVariable）、线性（Linear）、定常（Continuoustime）、多变量（Multivariable）、非线性（Nonlinear）、时变（Time Varying）系统，是对任何系统都适用的关于稳定性的一般定义。系统平衡态的稳定问题就是，偏离系统平衡态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素，使系统返回到初始平衡态，或者使之限制在平衡态的有限邻域内。因此，首先需要讨论系统平衡态、受扰运动等概念。5.2.1系统的平衡状态不受外部作用的自治系统如下
x=fx,t（5.8）
式中，xn维状态向量，x=x1x2xnTfx,tn维向量函数，fx,t=f1x,tf2x,tfnx,tT若对任意时间t有
x=fxe,t=0,tt0（5.9）
则称xe为系统的平衡状态（Equilibrium State），也称系统的零解。对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，也未必是唯一的。1. 线性定常系统的平衡状态对于线性定常系统，求解下式
x=fxe=Ax=0
必然有0=A0，可见，n维状态空间的坐标原点是一个平衡状态。1） A为非奇异阵，原点是唯一平衡状态。2） A为奇异阵，除原点外，还有其他平衡状态。例如：
A=0100
Ax=0100x1x2=x20=00
由Ax=0，可知此系统平衡状态为
x1R,x2=0
对任何线性定常系统，原点必为一个平衡状态。2. 非线性系统的平衡状态非线性系统可能有不同的平衡状态，其稳定性可能不同。 例如，某非线性系统为
x1x2=fx1,x2=x2-2sinx1=00
由平衡状态定义，令fx1,x2=0，可求得平衡状态
x1x2=k0,或者xe=,-0,00,0,
注：1） 系统在t0时刻的平衡状态，指tt0时，所有满足x=0的状态。当系统处于平衡状态时，若无输入作用，则系统一直处于该状态。2） 线性系统的任意孤立平衡状态均可通过坐标变换将其移到状态空间原点，其稳定性不变。不失一般性，认为线性系统的平衡状态确定为xe=0。这种原点稳定性问题使问题得到极大简化，而不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，是Lyapunov的一个重要贡献。3） 对线性定常系统，可以认为是研究系统的稳定性； 而对其他系统，只能认为是研究某一平衡态下的稳定性。4） 自治系统由任意非零初态xt0引起的状态运动，也称为受扰运动，相当于把非零初态xt0看成相对于零平衡状态的一个状态扰动。5.2.2状态矢量范数范数Norm‖x-xe‖，表示状态矢量x与平衡状态xe之间的距离，对于n维状态空间，其范数表示为
‖x-xe‖=x1-xe12 x2-xe22 xn-xen2（5.10）
若平衡状态为状态空间的原点，即xe=0，式5.10变为
‖x‖=x21 x22 x2n=x1x2xnx1x2xnT（5.11）
当系统维数分别为n=1，2，3时，状态向量的范数表达式如下：1 n=1,‖x‖=x21=x1；2 n=2,‖x‖=x21 x22；3 n=3,‖x‖=x21 x22 x23。5.2.3李雅普诺夫意义下的稳定性定义如图5.1所示三个曲面，小球均处于初始平衡点，考察其受扰动作用，自平衡点偏离后的系统响应。
图5.1小球运动分析示意图
1） 平衡点a： 扰动作用使小球偏离原平衡点，并到达另外一个平衡点，自由响应有界。2） 平衡点b： 考虑有摩擦，小球围绕原平衡点将产生衰减振荡，小球的自由响应有界，且最终返回原来初始平衡点。3） 平衡点c： 自由响应无界。李雅普诺夫把以上三种平衡点分别定义为稳定、渐近稳定、不稳定。1. 稳定1） 定义设系统的初始状态x0处在状态空间中，位于以平衡状态xe为球心，半径为的闭球域（Spherical Domain）S内，即
‖x0-xe‖，tt0（5.12）
若系统由初态x0出发的系统自由响应x t; x0, t0 在t 的过程中都位于以平衡状态xe为球心，半径为的闭球域S内，即
‖xt; x0,t0-xe‖，tt0（5.13）
则称动力学系统的平衡状态xe是李雅普诺夫意义下稳定的，或称系统具有李雅普诺夫意义下的稳定性。式5.13中，‖‖表示向量的范数（模）。一般地，实数与有关，通常也与初始时刻t0有关。如果的大小与 t0无关，则称x是李雅普诺夫意义下的一致稳定（Uniformly Stable）。对于时变系统，一致稳定比稳定更有实际意义。而对于时不变系统，李雅普诺夫意义下的稳定与一致稳定等价。2） 李雅普诺夫稳定性定义的几何解释以上定义意味着： 在状态空间中，任给一个以平衡状态xe为中心的球域S，无论多小，都能找到一个以原点为中心的球域 S，使任何从 S出发的运动轨迹，都不超出S。考虑二维空间，平衡态xe为坐标原点，S、S均为一个圆，如图5.2所示。李雅普诺夫意义下的稳定只能保证系统受扰运动相对于平衡状态的有界性，不能保证系统受扰运动相对于平衡状态的渐近性。李雅普诺夫意义下的稳定实质上就是工程意义下的临界不稳定。2. 渐近稳定1） 定义如果平衡状态xe不仅是李雅普诺夫意义下稳定的，而且从球域S 出发的任意解xt; x0, t0 ，时间趋于无穷大时，不仅不会超出球域S ，而且最终收敛于平衡状态xe或其邻域，即有
limt||xt; x0,t0-xe||0（5.14）
则称平衡状态xe是渐近稳定Asymptotically Stable的。其中球域S被称为平衡状态xe=0的吸引域，表示位于其内的所有状态点都可被吸引到平衡状态xe的邻域。同样，如果的大小与 t0无关，则称x是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。对于时变系统，一致渐近稳定比渐近稳定更有实际意义。而对于时不变系统，李雅普诺夫意义下的渐近稳定与一致渐近稳定等价。2） 几何含义渐近稳定首先应是李雅普诺夫意义下的稳定。工程上往往喜欢渐近稳定，因为希望干扰除去后，系统又会回到原来的工作状态，这个状态正是设计系统时所期望的，也就是前面所说的平衡状态。图5.3表示了渐近稳定情况在二维状态空间中的几何解释。
图5.2二维状态空间中稳定的平衡状态
图5.3二维状态空间中渐近稳定的平衡状态
实际上，渐近稳定性比纯稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说，发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。3. 大范围渐近稳定无论是李雅普诺夫意义下的稳定、渐近稳定，都属于系统在平衡状态附近一小范围内的局部性质。因为系统只要在包围xe的小范围内，能找到和满足定义中条件即可。至于从S 外的状态出发的运动，却完全可以超出S。因此，若为了满足稳定（或渐近稳定）条件，初始状态x0有一定限制，则系统称是小范围稳定（或小范围渐近稳定），也称局部稳定（Locally Stable）（或局部渐近稳定）。如果系统在任意初始条件下的解xt; x0, t0 ，当t的过程中，收敛于平衡状态xe或其邻域，则平衡状态xe是不仅渐近稳定的，而且其范围包含整个状态空间，则称xe是大范围渐近稳定，或称全局渐近稳定的平衡状态。大范围渐近稳定的必要条件是： 状态空间中系统中只有一个平衡状态。例如某系统状态方程为
x=Ax,A0
可知零状态必然是系统的平衡状态，而若零状态渐近稳定，因为它是系统唯一的孤立平衡状态，则必然是大范围渐近稳定的。 可见，线性系统稳定性与初始条件无关。从实用观点出发，仅仅判知系统是小范围渐近稳定的，系统不一定能正常工作，一旦实际存在的干扰，使系统的初始状态偏离而超出S的范围，就会导致x有可能不返回xe。因此，工程上对大范围渐近稳定更感兴趣。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。然而，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。
对于线性定常系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统，一般只考虑吸引域为有限的定范围的渐近稳定。4. 不稳定如果无论的值有多么小，即初始状态x0与平衡状态xe非常接近，而由球域S内出发的任意解，只要有一条轨迹离开球域S，即至少存在一个初态，由此出发的状态轨迹xt; x0, t0 ，不满足下列不等式
||xt; x0,t0-xe||，tt0（5.15）
则系统的平衡状态xe是不稳定（Instability）的。说明对于某个实数 0和任一个实数0，不管这两个实数多么小，在S内总存在一个初始状态x0，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开S）。对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然超出了S，但并不意味着轨迹一定趋向无穷远处，例如对于非线性系统，轨迹可能趋于S外的某个平衡点。但对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上一定趋于无穷远。从上述定义可以看出，球域S限制初始状态x0的取值，球域S规定了系统自由响应xt; x0, t0 的边界。系统自由响
图5.4二维状态空间中不稳定的平衡状态
应xt; x0, t0 有界，则平衡状态xe稳定； 如果xt; x0, t0 不仅有界，而且收敛于平衡态xe，则称xe渐近稳定； 如果xt; x0,t0 无界，则xe不稳定。图5.4所示表示二维状态空间中不稳定的平衡状态。注意，这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。实际上，在其他文献中还有另外的定义。由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域，因而除非S对应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域，是局部性能。考虑图5.5所示的几种典型情况： 平衡点a、c是局部渐近稳定，平衡点b、d是局部不稳定，平衡点e是局部稳定。
图5.5不同平衡状态的稳定性示意图
可得结论如下。1） 线性定常系统： 任一孤立平衡状态，都可通过坐标变换移到状态空间的原点，分析原点的稳定性具有代表性。2） 非线性系统： 各个平衡点的稳定性不同，应该分别分析各平衡状态xe的稳定性。3） 稳定只要求状态轨迹在球域S 中，而渐近稳定要求x t; x0,t0 最终收敛于或无限接近于平衡状态xe。4） 实际中往往希望xe为大范围渐近稳定。5） 对于线性系统： 若平衡状态是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。6） 在经典控制理论中的稳定性概念与Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统； 在Lyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如表5.1所示。
表5.1经典控制理论与Lyapunov意义下的稳定性概念的区别与联系
经典控制理论线性系统）不稳定 Res0临界情况 Res=0稳定 Resa12a21。例5.7分析此多输入多输出系统的内外部稳定性。
A=132042001B=010010C=100001
解系统的传递函数为
CsI-A-1B=s-1s-12s-4s-43200s-4010010=2s-1s-41s-11s-10
系统内部不稳定，且外部不稳定。2. 线性离散系统稳定性分析定理2线性定常离散系统xk 1=Gxk的零平衡状态xe是渐近稳定的充要条件是： 系统矩阵G阵的所有特征值的模全部位于根平面的单位圆内，即
i0,0，则系统一致渐近稳定。5.3.3非线性系统的稳定性分析由于非线性系统可能存在多个平衡态，而且每个平衡态的稳定性也可能不同，因此，需要对非线性的每个平衡态分别研究。非线性系统为
x=fx
当n维状态向量函数f（x）对x有连续的偏导数存在时，可将非线性向量函数f（x）在平衡状态xe附近展开（Expand）为泰勒级数Taylor Series。
x=fx=fxxe fxTxex-xe x（5.21）
fxT=f1x1f1x2f1xnf2x1f2x2f2xnfnx1fnx2fnxnnn（5.22）
式5.22称为雅可比（Jacobian）矩阵，其中，x为级数展开式中的二次以上的高次项。若令一个新的状态向量y=x-xe，忽略二次以上的高次项x，由式（5.21）得到非线性系统的一次近似线性化数学模型
y=Ay（5.23）
A=fxTxe（5.24）
A为nn阶常数方阵，y=0为系统的平衡状态，对应x=xe，相当于把原平衡态移到坐标原点。实际系统如果非线性不严重，或者偏差不大，在分析稳定性时，可按上述线性化（Linearization）模型应用线性系统的稳定条件进行分析，那么分析结果是否符合实际系统的真实情况呢？李雅普诺夫小偏差理论有以下结论：1） 若式（5.24）所定义的矩阵A所有特征根具有负实部，则系统在xe处渐近稳定，与忽略掉的x无关;2） 只要A有一个特征根具有正实部，系统在xe处不稳定，与x无关;3） 只要A有一个特征根实部为0（纯虚根，0根），系统在xe处的稳定性与x有关，不能直接按线性化模型来判断，只能用李雅普诺夫第二法判断。例5.9分析系统平衡态的稳定性。
x1=x2,0
x2=-1 x22x2-x1
解1） 可求系统的平衡状态为xe=0。2） 线性化,
A=fxTxe=01-1-1 x22-21 x2x2xe=0=01-1-
3） 求线性化后的特征根，
I-A=-11 =2 1
4） 由劳斯判据可知，系统的特征根全部具有负实部，系统在平衡状态处渐近稳定。例5.10对于下面的非线性微分方程式求平衡点，并判别平衡点是否稳定。
x1=x2
x2=-sinx1-x2
解1） 由x2=0，-sinx1-x2=0，求得系统的平衡点是x1=0,,2,，x2=0。2 在x1=0,2,4,，x2=0处，将系统近似线性化得
A=fxTxe=01-cosx1-1xe=01-1-1
其特征多项式是f=2 1，特征值具有负实部，这些平衡点渐近稳定。3） 在x1=,3,，x2=0处，将系统近似线性化得
A=fxTxe=01-cosx1-1xe=011-1
特征多项式是f=2 -1，特征值具有负实部，这些平衡点不稳定。由此可见，非线性系统各个平衡点的稳定性可能并不相同，与前面的论述一致。
5.4李雅普诺夫判稳第二法
本节所要介绍的Lyapunov第二法（Lyapunov Second Method），也称Lyapunov直接法，是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外，它还可应用于线性二次型最优控制问题。第二法不需求出微分方程的解，可以在不求出状态方程解的条件下，确定系统的稳定性。由于求解非线性系统和线性时变系统的状态方程通常十分困难，所以这种方法显示出极大的优越性。尽管采用Lyapunov第二法分析非线性系统的稳定性时，需要相当的经验和技巧，然而当其他方法无效时，这种方法却能解决非线性系统的稳定性问题。5.4.1李雅普诺夫第二法的基本思想本节将以一个电网络系统为例，简述李雅普诺夫第二法的基本思想。
图5.6RLC电路图
如图5.6所示电网络，选取电感电流it和电容电压yt作为状态变量，令x1t= it，x2t= yt，u=0。求得一个状态空间描述如下
x1t=-RLx1t-1Lx2t
x2t=1Cx1t
yt=x2t
可求得此线性定常系统平衡状态为xe=0。根据电路理论，参考表2.1，求出储能元件电容能量为
T=Q22C=12Cx22
电感能量为
S=12Li2=12Lx21
电路总能量为
Vx=S T=12Lx21 12Cx22
能量变化率为
Vx=Lx1x1 Cx2x2=Lx1-RLx1-1Lx2 Cx21Cx1=-Rx21
系统总能量与能量变化率均为状态的标量函数。根据系统元件参数的不同，系统的稳定性分为以下几种情况：1 R=0,Vx=0，系统总能量不变，响应为等幅振荡，是李雅普诺夫意义下的稳定。2 R0,Vx0，称V（x）为正定的（Positive Definite），如 V（x）=x12x22；2） V（x）0，称V（x）为半正定的（Positive Semidefinite），如 V（x）=x1x22;3） V（x）0，2=p11p12p21p22=101140，
3=P=101-214-1-2-11=40 2 2-16-1-10=170
所以Vx0，是正定的。5.4.4李雅普诺夫第二法的稳定性判据设系统的状态方程为
x=fx,t（5.26）
对于线性定常系统，不失一般性，可把状态空间的原点作为系统的平衡状态。若找到一个单值标量函数Vx,t，而且对状态矢量x的每个分量，均有连续一阶偏导Vx,t
Vx,t=Vx,tx1x1 Vx,tx2x2 Vx,txnxn,t
=Vx,tx1Vx,tx2Vx,txnx1x2xn（5.27）
存在。可据此判断系统的稳定性。1. 判据一设系统状态方程为x=fx,t，xe是平衡状态，如果存在一个对t具有一阶连续偏导数的标量函数Vx,t且其满足以下条件1） Vx,t0，是正定的；2） Vx,t0
Vx=Vxx1x1 Vxx2x2=2x1x1 2x2x2=-2ax21 x2220
Vx,t=x1x1 12x22 t 1x2x2
=x1x2 12x22 t 1x2-1t 1x1-10x2
=-10t 192x220
则系统能量函数为
V［xk］=xkTPxk=5227x21k 8027x1kx2k 10027x22k
由于离散系统不存在能量函数对时间的导数，而是代之以能量函数的增量
V［xk］=V［xk 1］-V［xk］=-［x21k x22k］
V［xk］负定，故系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，与前面例题5.8中的第一法结论相同。正定实对称矩阵P的选择方法参见例5.22。2. 判据二若Vx,t及其Vx,t满足1） Vx,t0，正定；2） Vx,t0，半负定。则系统在 xe处是稳定的。3） 此外，对于任意初始时刻t0时的任意状态x00，在tt0时，除在x= xe时有Vx,t=0外，Vx,t不恒等于0。则系统在 xe处是渐近稳定的。如果进一步还有||x||，有Vx,t，则系统在xe处是大范围渐近稳定，如图5.8所示。
图5.8Vx,t=0时的运动分析
① Vx,t0，运动轨迹将落在某个特定的曲面Vx=C上，而不会收敛至原点。这种情况可能对应于线性系统中作等幅振荡的临界稳定，或非线性系统中出现的极限环。② Vx,t不恒等于0，运动轨迹只在某特定时刻与某个特定曲面Vx=C相切，运动轨迹通过切点后继续向原点收敛，因此，这种情况属于渐近稳定。例5.15分析非线性系统的稳定性。
x1=x2
x2=-x1-1 x22x2
解1） 系统的平衡状态为xe=0。2） 选择能量函数
Vx=xT1001x=x21 x220
Vx=Vxx1x1 Vxx2x2=2x1x1 2x2x2=-2x221 x22
容易看出，除了以下两种情况有
x2=0,x10,Vx=0
x2=-1,x10,Vx=0
外，均有Vx0，正定；2） Vx,t0，正定。
则系统在 xe处是不稳定的。3） 类似判据二，若除原点外，Vx,t不恒为零，条件2可改为半正定。例5.16分析系统的稳定性。
x=Ax,A=11-11
解1） 系统的平衡状态为xe=0。2） 选择能量函数及其导数
Vx=x21 x220
Vx=2x1x1 2x2x2
=2x1x1 x2 2x2-x1 x2=2x21 x220
由判据三，系统在零平衡状态是不稳定的。例5.17设有如下系统，试判断系统的稳定性。
x1=x2
x2=-x1 x2
解xe=0为系统的平衡状态，取Vx=x21 x22，为一正定的标量函数，并且
Vx=2x1x1 x2x2=-2x22
Vx为半正定的，假设Vx=-2x220，则必有x20,x2=0，表明除了坐标原点外，Vx在状态轨迹上不恒为零，系统是不稳定的。例5.18分析此系统的稳定性。
x=Ax,A=01-1-1
解1） 系统的平衡状态为xe=0。2） 选择能量函数。① Vx=2x21 x220Vx=4x1x1 2x2x2=4x1x2 2x2-x1-x2=2x1x2-2x22,不稳定。
无法判断。② Vx=x21 x220
Vx=2x1x1 2x2x2=2x1x2 2x2-x1-x2=-2x220
由判据二，系统在零平衡状态是稳定的。③ Vx=x1x23112x1x2=x1 x22 2x21 x220
Vx=2x1 x2x1 x2 4x1x1 2x2x2=-2x21 x220（5.28）
式中P为正定实对称矩阵。由于Vx取为正定，对于渐近稳定性，要求Vx为负定的，因此必须有
Vx=-xTQx0（5.30）
此为李雅普诺夫矩阵方程。于是，稳定性判断的问题简化为只要找到一对矩阵P、Q，满足李氏矩阵方程，且均为正定矩阵，则Vx正定，Vx负定，系统零平衡状态是大范围渐近稳定的。在判别稳定性时，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q，然后检查由式（5.30）确定的P是否也是正定的，通常可选Q =I。这可归纳为如下定理。5.5.2李雅普诺夫矩阵方程在线性定常系统稳定性判别中的应用定理1对于线性连续时不变系统x=Ax，其零平衡状态渐近稳定的充要条件是，对于任意给定的一个正定对称的矩阵Q，都存在一个正定对称的矩阵P满足Lyapunov矩阵方程
Q=-ATP PA
这里P、Q均为实对称矩阵。此时，系统的一个Lyapunov函数及其导数分别为
Vx=xTPx，Vx=-xTQx
注意：1） 判决结果与正定对称矩阵Q的型式选择无关，可取Q = I，即
Vx=-xTQx=-x21 x22 x2n
2） 如Vx沿任意运动轨迹都不恒等于0，则Q取半正定也可，即Vx=-x2n。3） 求出P，按照P的符号判决： P正定，渐近稳定； P半正定，稳定； P负定，不稳定。4） 如果Q =I，而李氏方程没有解，或具有多个解，或具有唯一解而解非正定方程，都表明系统不是渐近稳定。例5.19利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：
x=-112-3
解1） 系统平衡态为xe=0。2） 选取李氏函数为
Vx=xTPx,P=p11p12p12p22
P为实对称矩阵。选择正定矩阵Q=I，则由
ATP PA=-I
得
-121-3p11p12p12p22 p11p12p12p22-112-3=-100-1
解上述矩阵方程，得
P=p11p12p12p22=74585838
3） 判断P是否正定。由塞尔维斯特判据判断各阶主子式
P11=740,detp11p12p12p22=det74585838=17640
可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。系统的李雅普诺夫函数及其导数分别为
Vx=xTPx=147x21 5x1x2 3x220
Vx=-xTQx=-x21 x220和K0
因此，当00
故系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，与前面例题5.14结论相同。例5.23设线性离散时间系统如下，试求在平衡状态系统渐近稳定的m值范围。
xk 1=0100010m20xkm0
解令Q=I，由方程GTPG-P=-Q，得
00010m2010p11p12p13p12p22p23p13p23p330100010m20-p11p12p13p12p22p23p13p23p33=-100010001
解此方程得
P=10008 m24-m2000124-m2
若要系统在平衡状态渐近稳定，则P必为正定矩阵，应有00（5.40）
为系统趋于平衡点的快速性指标，它又称为衰减系数，是大于0的正数。越大，说明系统趋于原点的速度越快。在一般情况下，衰减系数是系统自由运动状态的标量函数，记为x。可以看出，能量V（x）越大，且能量下降速率Vx越小，则x越小，对应于运动衰减越慢； 反之，能量V（x）越小，且能量下降速率Vx越大，则x越大，对应于运动衰减越快。解式（5.40）得
Vx=Vx0e-tt0xd （5.41）
取的最小值为min，即
min=min-VxVx（5.42）
则min表示系统趋于原点的最慢值。将min代入式（5.41）得
VxVx0e-tt0md=Vx0e-mt-t0（5.43）
说明实际的Vx比Vx0e-mt-t0衰减得快，min体现V（x）趋于零的速度。1min是表征李雅普诺夫函数V（x）趋于0的最大时间常数，利用经典控制理论得到的系统自由响应时间常数约为2min。对于线性定常系统，可以由李雅普诺夫方程Q=-ATP PA中的矩阵P、Q确定min，可以证明，min等于矩阵QP-1的最小特征值。例5.24已知x=-112-3x，求系统的快速性指标min，并求从封闭曲线Vx=100上的一点到Vx=0.1响应时间的上限。解1） 由前面例5.19可知系统在原点处是大范围渐近稳定的。可选择系统的李雅普诺夫函数及其导数分别为
Vx=xTPx=147x21 5x1x2 3x220Vx=-xTQx=-xTx=-x21 x22f2x2=f2x2
于是Qx为
Qx=-JTx Jx=-2f1x11 f2x21 f2x22a
由克拉索夫斯基定理可知， 如果1） 对所有x10，f1x10, 4002x22=8x220，40-6x302x220-6x3018x23=72x22x230
知Qx正定。由克拉索夫斯基定理可知系统在原点渐近稳定。又因为系统的能量方程为
Vx=fTxfx=-3x21 x1x2 3x232 x21x2 3x32 3x2-3x332
并有lim‖x‖Vx，所以系统在原点处是大范围渐近稳定的。由上述几个例题可以看出，对于非线性系统，利用试凑法去寻找合适的李氏函数是非常困难的，必须充分利用规则的方法去构造李氏函数。5.6.2阿塞尔曼法阿塞尔曼法也称线性近似法，是对非线性系统中的非线性元件作线性近似。设系统的动态方程为
x1=a11x1 a12x2 a1nxn fx1x2=a21x1 a22x2 a2nxn fx2xn=an1x1 an2x2 annxn fxn（5.52）
xe=0为系统的平衡状态。f（xi）为单值非线性函数，并满足
K10的取值，使得系统在单位阶跃输入rt=1t作用下，性能指标
J=0 e2 e2dt,0
达到极小。式中的e为误差信号，并且e=r-c，为加权系数。假设系统开始时是静止的。
图5.11例5.29系统结构图
解 由图5.11可得，系统闭环传递函数为
s=CsRs=1s2 2s 1
可根据拉氏反变换得到系统二阶微分方程
c 2c c=r
依据误差信号e的形式（e=r -c），可得
e 2e e=r 2r
由于输入rt是单位阶跃函数，所以r0 =0，r0 =0。因此，对于t0，有
e 2e e=0,e0 =1,e0 =0
定义如下状态变量
x=x1x2=ee，x10x20=10
则系统状态方程为
x=01
-12x
性能指标J可写为
J=0 e2 e2dt=0 x21 x22dt
=0 ［x1x2］100x1x2dt
=0 xTQxdt
式中
Q=100
是正定矩阵。由于A是稳定矩阵，所以参照式（5.63），J的值为
J=xT0 Px0
式中的P由下式确定
ATP PA=-Q
0-11-2p11p12p12p22 p11p12p12p2201-1-2=-100-
求解此方程，可得
P=p11p12p12p22= 1 412121 4
于是性能指标J为
J=xT0 Px0 = 1 4x210 x10 x20 1 4x220
将初始条件x10 =1，x20 =0代入上式，可得
J= 1 4
对使J为极小，可令
J=0
即
J=1-1 42=0
可得
=1 2
当0时，有
2J2=1 220
说明使J为极小，因此，的最优值是1 2。例如若=0，则 的最优值为12，即0.5； 若=1，则的最优值为22，即0.707； 其余类推。本例题x10=1,x20=0，x0只含一个不等于零的分量x10，而其余的初始分量均等于零。从计算过程可见，参数最优值与x10的数值无关，与前述相符。
5.8基于李雅普诺夫第二法的模型参考控制系统
由于所有的物理对象在某种程度上均是非线性的，所以设计出的系统仅在一个有限的工作范围内才能得到满意的结果。在这种情况下，可以采用系统设计的模型参考方法。5.8.1模型参考控制系统使系统具有理想性能的一种有效的方法是利用一个参考模型，对给定的输入产生所希望的输出。参考模型也称为模型参考系统，它不必是实际的硬件设备，可以是在计算机上模拟的数学模型。具有参考模型的控制系统，称为模型参考控制系统。在模型参考控制系统中，将参考模型的输出和受控对象的输出进行比较，差值用来产生控制信号。参考系统是根据被控系统期望的动态性能选择的，控制的目的是使受控系统的输出渐近跟随模型参考系统的输出，从而使受控系统满足期望的动态性能，受控系统与模型参考系统的输出误差也渐近收敛为零。5.8.2控制器的设计假设对象的状态方程为
x=fx,u,t（5.64）
式中，xRn,uRr，且fx,u,t为n维向量函数。希望控制系统紧随某一模型系统。设计的关键是综合出一个控制器，使得控制器总是产生一个信号，迫使对象的状态接近于模型的状态，模型参考控制系统的典型结构如图5.12所示。
图5.12模型参考控制系统结构图
假设模型参考系统是线性的，动态方程为
xd=Axd B?瘙經（5.65）
式中xdRn,?瘙經Rr,ARnn,BRnr。又假设A的所有特征值都有负实部，则该模型参考系统具有一个渐近稳定的平衡状态。令误差向量为
e=xd-x（5.66）
希望通过一个合适的控制向量u，使得误差向量减小到零。由式（5.64）和式（5.65）可得
e=xd-x=Axd B?瘙經-fx,u,t=Ae Ax-fx,u,t B?瘙經（5.67）
式（5.67）就是误差向量的微分方程。设计一个控制器，使得在稳态时，x=xd和x=xd或e=e=0。因此，原点e=0是一个平衡状态。在综合控制向量u时，可以对系统构造一个Lyapunov函数为
Ve=eTPe（5.68）
式中的P是正定的实对称矩阵。求Ve对时间的导数，可得
Ve=eTpe eTPe
=［eTAT xTAT-fTx,u,t ?瘙經TBT］Pe eTP［Ae Ax-fx,u,t B?瘙經］
=eTATPe xTATPe-fTx,u,tPe ?瘙經TBTPe eTPAe eTPAx-eTpfx,u,t eTPB?瘙經
=［eTATPe eTPAe］ ［xTATPe-fTx,u,tPe
?瘙經TBTPe eTPAx-eTpfx,u,t eTPB?瘙經］
考虑到
xTATPe-fTx,u,tPe ?瘙經TBTPe eTPAx-eTPfx,u,t eTPB?瘙經（5.69）
中的每一项均为标量，因此由式（5.69）有
xTAT-fTx,u,t ?瘙經TBTPe=eTPAx-fx,u,t B?瘙經
Ve=eTATP PAe 2M=-eTQe 2M（5.70）
式中
M=eTP［Ax-fx,u,t B?瘙經］=xTAT-fTx,u,t ?瘙經TBTPe（5.71）
为标量。如果1） Q=-［ATP PA］是一个正定矩阵；2） 控制向量u可选择为使标量M为非正值的值。则平衡状态e=0是渐近稳定的。当‖e‖，有Ve，平衡状态e=0是大范围渐近稳定的。条件1总可通过选择适当的P而得到满足，因为A的所有特征值均假设具有负实部。因此，这里的问题就是选择一个合适的控制向量u，使得M或等于零，或为负值。下面通过一个例子来说明如何使用这种方法来设计非线性控制器。例5.30考虑由下式描述的非线性时变系统。
x1x2=01-b-atx2x1x2 01u
式中，at是时变参数，b为正常数。设参考模型的方程如下, 试设计一个非线性控制器，使得系统能够稳定地工作。
xd1xd2=01-2n-2nxd1xd2 02nv
解 定义误差向量为
e=xd-x
Lyapunov函数为
Ve=eTPe
式中，P是正定实对称矩阵。参照式（5.70）,可得Ve为
Ve=eTATP PAe 2M
由参考模型的方程确定矩阵A和B，并选择矩阵Q为
Q=q1100q220
可得
Ve）=-q11e21 q22e22 2M
上式中，M由式（5.71）推出，为
M=eTP［Ax-fx,u,t B?瘙經］
=［e1e2］p11p12p12p2201-2n-2nx1x2-01-b-atx2x1x2-0u 02nv
=e1p12 e2p22［-2n-bx1-2nx2 atx22 2nv-u］
如果选取u使得
u=-2n-bx1-2nx2 2nv amx22signe1p12 e2p22
式中
am=maxat
signe1p12 e2p22=1,e1p12 e2p220
0,e1p12 e2p22=0
-1,e1p12 e2p22
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