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| 編輯推薦： |
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《数学分析教本.上册》适合理工科大学本科数学类各专业及其他相关专业的教学使用，也可供相关人员参考.
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| 內容簡介： |
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《数学分析教本.上册》作为数学分析课程的教材，共分上、中、下三册出版. 上册主要介绍数列的极限、函数的极限与连续、导数与微分、微分中值定理与泰勒公式、一元函数微分学应用及实数基本理论等内容. 《数学分析教本.上册》注重概念引入的自然性与理论推证的严密性. 注意内容的完整、安排的恰当；表述清楚、简明；习题配备合理.
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| 目錄：
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"目录
前言
第0章导论1
0.1课程介绍1
0.2记号与术语2
0.3绝对值2
0.4二项式公式与常用不等式3
0.5确界原理5
0.6映射6
第1章变量与函数7
1.1函数7
1.2函数的几种特性9
1.3函数运算10
1.4初等函数13
习题118
第2章数列的极限21
2.1数列21
2.2数列极限的定义24
2.3收敛数列的性质27
2.4数列收敛的条件29
2.5无穷小数列与无穷大数列33
习题236
第3章函数的极限41
3.1自变量趋于无穷大时的极限41
3.2自变量趋于有限定值时的极限43
3.3函数极限的性质46
3.4无穷小量与无穷大量54
习题358
第4章连续函数61
4.1函数的连续性61
4.2连续函数的运算64
4.3连续函数的性质65
习题470
第5章导数73
5.1导数概念73
5.2导数运算法则80
5.3高阶导数89
5.4隐函数求导与参数方程求导93
习题598
第6章微分104
6.1微分概念104
6.2微分计算108
6.3高阶微分111
习题6113
第7章微分中值定理与泰勒公式115
7.1罗尔中值定理115
7.2拉格朗日中值定理116
7.3柯西中值定理120
7.4洛必达法则121
7.5泰勒公式125
习题7131
第8章一元函数微分学应用134
8.1函数的单调性134
8.2函数的极值与最值136
8.3曲线的凸性与拐点140
8.4函数作图143
8.5平面曲线的曲率146
习题8151
部分习题参考答案153
参考文献157
附录实数系基本理论158"
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"第0章 导论
0.1课程介绍
数学分析是数学学科三大经典基础课程之一，也是该学科最重要的一门基础课.其研究对象是自变量为实数且取值也为实数的所谓实变实值函数.其根本任务是研究和探讨实值变量之间的数量关系.这里所说的数学分析是狭义的，它专指微积分学.数学史上有时也把微积分称为无穷小量分析.广义的数学分析除微积分学外，还包括复变函数？实变函数？微分方程？积分方程？泛函分析等以函数为研究对象的其他数学分支.
微积分的思想早在古代的希腊和中国就已经有了雏形.到了17世纪，生产和科学的发展向数学提出许多新的研究课题.例如，求物体运动的瞬时速度？曲线的切线？函数的极值以及曲边梯形的面积等问题.它们都涉及某些变化着的量，以常量为研究对象的初等数学对此无能为力.因而迫切需要建立一种以变量为研究对象的新数学.17世纪下半叶，英国物理学家？数学家牛顿I.Newton，1643—1727和德国哲学家？数学家莱布尼茨G.W.Leibniz，1646—1716各自独立地建立了微积分的计算法.这不仅使以前需要用各种特殊技巧分别处理的难题有了统一的求解办法，而且大大简化了积分运算.虽然微积分一经产生就在实践中彰显出巨大威力，但在逻辑推理上却存在着纰漏和矛盾.1821年，法国数学家柯西A.L.Cauchy，1789—1857对极限概念作了明确定义，并在此基础上澄清了连续？导数？积分等基本概念，使得微积分成为比较严密的理论.19世纪70年代，德国数学家魏尔斯特拉斯W.Weierstrass，1815—1897等进一步将极限概念建立在实数理论的基础上，实现了数学分析的算术化和公理化，使得微积分具有了今天的严密形式.
数学分析是许多后续课程如常微分方程？数学物理方程？复变函数？实变函数？泛函分析？计算方法？概率论与数理统计以及微分几何等课程必备的基础，是数学学科以及其他相关学科各专业本科生的必修课.通常，它在教学培养计划中被列为主干课程.
数学分析主要讲授实数基本理论？变量与函数？数列的极限？函数的极限与连续？导数与微分？不定积分？定积分与广义积分？数项级数？函数项级数？幂级数？傅里叶级数？多元函数的极限与连续？偏导数与全微分？极值理论？隐函数存在定理？重积分？曲线积分？曲面积分及含参变量积分等相关的基本内容.
对学生而言，学习数学分析，除了需要掌握具体计算微分？积分的方法和技巧，进而能够分析函数的各种特性外，更重要的是能够深刻理解实数以及n维欧氏空间的拓扑性质，为后续的复分析？实分析？泛函分析和拓扑学等课程提供具体的例子，并得到研究方法？逻辑思维和科学创新方面的启蒙.一般来说，数学知识的获取和数学能力的培养，仅靠听老师讲授是不够的，只有勤学多练，深思熟虑，才能在潜移默化的自我感悟和熟能生巧的过程中逐步积累和提高.数学是打开科学大门的钥匙.
数学不仅是计算的工具，也是得以创造新理论？开拓新学科的主要源泉，数学的重要性众所周知.数学分析是打开数学宝库的钥匙.只有微积分学才能使科学有可能用数学来不仅表明状态，而且也表明过程与运动，数学分析的地位不言而喻.数学启发人们的想象与推理，学习数学像做游戏一样，不仅能体会到“数学好玩”的趣味与快乐，还能感受到“数学之美”的风采与魅力.只要认真努力地学习过数学，学习过数学分析，不论以后是否还记得住具体的数学知识，也不论以后从事什么工作，那些深深铭刻在头脑中的数学精神？数学思维方法？研究方法？推理方法和看问题的着眼点等将随时随地发挥作用，使他们终身受益.因为数学毕竟在他们的头脑中留下了痕迹，这就能使他们比未经过数学训练的人做出更多的贡献.
0.2记号与术语
本书分别用记号N，Z，Q，R代表自然数不包括零？整数？有理数及实数的全体所组成的集合，并使用常规的集合运算符号.用记号表示术语“存在或至少有一个”.用记号 表示术语“任意给定的”.设A，B是两个命题，用记号A=B表示A蕴涵B，即A是B成立的充分条件;用记号A∶=B表示B是A成立的必要条件;用记号A∶=B表示A成立当且仅当B成立，即A与B等价，也即A是B成立的充分必要条件.用记号A∶=B表示将A记为B.用记号□表示对一个定理？例题等证明或计算的终结.
0.3绝对值
实数x的绝对值定义为
其基本性质如下:
1 正定性|x|≥0且|x|=0当且仅当x=0;
2 齐次性|kx|=|k||x|;
3 三角不等式|x+y|≤|x|+|y|.
利用三角不等式，立即得|x|≤|x-y|+|y|.
它是数学分析中最常用的不等式，请读者特别关注.
在实数集R上，利用绝对值可以定义任意两点x，y之间的距离dx，y，即规定
dx，y=x-y.
它具有如下性质:
1 正定性dx，y≥0且dx，y=0当且仅当x=y;
2 对称性dx，y=dy，x;
3 三角不等式dx，y≤dx，z+dy，z.
因而dx，y描述了x，y两点的靠近程度.利用实数的绝对值，能得到下列结论.
命题0.3.1已知a为给定的实数，如果对任意的εgt;0，都有a≤ε，则a=0.
证明假设a≠0. 因为对任意的εgt;0，都有a≤ε，所以对于ε=a2gt;0，也成立a≤a2，因此1≤12，矛盾.所以结论正确.
0.4二项式公式与常用不等式
设a，b∈R，n∈N，二项式公式为
其中组合系数
除了前面提到的一些绝对值不等式外，本书还经常用到以下不等式.
1 伯努利Bernoulli不等式: 对任意实数x≥-1，有不等式
证明当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立，即1+xk≥1+kx.则当n=k+1时，注意到1+x≥0，于是
1+xk+1=1+xk1+x≥1+kx1+x=1+k+1x+kx2≥1+k+1x.
从而由数学归纳法知结论成立.
2 均值不等式:对任意的正实数a1，a2， ，an，分别记
则有均值不等式
证明如果Gai≤Mai成立，那么
所以Hai≤Gai.因此只需证明Gai≤Mai.显然，当n=1时结论成立.假设n=k时结论成立，即ka1a2 ak≤1k∑ki=1ai，则当，那么
不妨假设，从而ak+1≥bk，再由伯努利不等式，结合归纳假设，得
于是，由数学归纳法知结论成立.
3 [x]≤xlt;[x]+1，其中[x]表示实数x的整数部分.注0.4.1对任意实数x，有x=[x]+x，其中x表示x的小数部分，并且x≥0.
4 当0lt;|x|lt;π2时，sinxlt;|x|tanx.证明当0xπ2时，考察图0-1中的单位圆.作圆心角∠aob=x，点a处的切线与ob的延长线相交于d，又bc⊥oa，则sinx=bc，x=ab，tanx=ad. 因为△aob的面积扇形aob的面积△aod的面积，="" 所以="" 12sinx12x12tanx，即sinx|x|tanx.当-π2x0时，注意到sinx，x，tanx都是奇函数，所以结论仍然成立.="" 5="" 对任意实数x，sinx≤|x|，并且等号当且仅当x="0时成立." 证明由4知当0|x|π2时，sinx|x|.而当|x|≥π2时，sinx≤1π2.所以当x≠0时，sinx|x|，又当x="0时，sinx=|x|，因此结论正确.□" 0.5确界原理="" 定义0.5.1设s为r的一个子集.若存在实数mm，使得一切x∈s都有x≤mx≥m，则称mm为s的一个上界下界，并称s为一个有上下界的数集.若数集s既有上界又有下界，则称s为有界集.="" 按定义0.5.1，如果m是s的一个上界，那么对任意的m1=""M，M1也是S的一个上界，我们称S的上界中的最小者为S的上确界，记为supS.同理，S的下界中的最大者称为S的下确界，记为infS.于是下列结论成立:
1 ξ=infS当且仅当对一切x∈S，x≥ξ，并且对任意的εgt;0，存在xε∈S使得xεlt;ξ+ε;
2 η=supS当且仅当对一切x∈S，x≤η，并且对任意的εgt;0，存在xε∈S使得η-εxε. 例如，对于集合i1="{x|xb}，I2={x|x≤b}，有supI1=supI2=b.事实上，对于任意的x∈I1或者x∈I2，有x≤b，而对于任意的ε"0，取xε=b-ε2，则xε∈I1，xε∈I2，并且b-εxε.同理，对于i3={x|xa}，I4={x|x≥a}有infI3=infI4=a.
定理0.5.1 确界原理有上下界的非空实数集一定有上下确界.
注0.5.1定理0.5.1的证明见附录，暂且不作要求，读者可作为公理予以承认.
0.6映射
映射的概念在中学已经学过，它是我们定义函数的依据，叙述如下:
设X，Y是两个集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按照此法则f在Y中存在唯一的元素y与x对应，则称f是一个从集合X到集合Y的映射，记为f:X→Y."xε.同理，对于i3={x|xxε.tanx.证明当0xπ2时，考察图0-1中的单位圆.作圆心角∠aob=x，点a处的切线与ob的延长线相交于d，又bc⊥oa，则sinx=bc，x=ab，tanx=ad.
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